比如这个

别花太多时间纠结氢原子薛定谔方程了，真没必要。这玩意的解我现在都记不住（给我足够的时间推的话倒还是能推出来），要用的时候翻书去看就完了。本科量子力学考试也就考什么一维无限深势阱，升降算符这种计算量小的。量子力学有意思的地方根本就不是这些精确解析解，是各种异想天开但又极其有效的近似。至于怎么解薛定谔方程那是你数理方法课上要学的，至少不是你量子力学课上最重要的东西。

你图里面就是分离变量法而已，有些方程数学上已经研究透了，去往那边靠就行薛定谔方程能解析解的少之又少，一般都得用微扰做

首先你要知道一个叫球谐函数的东西，它是拉普拉斯算符角度部分的本征函数（也就是角动量平方算符的本征函数），通过球谐函数分离变量之后，方程化为关于r的常微分方程，再令R(r)＝u(r)/r还可以进一步化简（试一下就知道）。然后考察渐近行为，令r→∞，从方程中略去r次数最低的一项（因为r很大时此项无关紧要），得到一个简化版方程，解出两个渐近解，舍去非平方可积的一个，留下的记为f(r)；再令r→0，舍去r次数较高的一项，得到渐近解g(r)（此步可省）；最后设u(r)＝w(r)f(r)g(r)，代回方程并化简，把w展开成系数未知的幂级数，令等号两端同幂项系数相等，解出通项公式即可。————————以上这些内容在科恩塔诺季的《量子力学》卷一中全都有非常详细的推导，推荐阅读

说实话呀，对绝大多数人而言，这个东西不需要真的会，知道方法就行了，你让大部分教授合上书，完全解出来，他也不会。

薛定谔方程是哈密顿算符（能量算符）的本征值方程，里面动能算符是动量算符的平方除两倍质量。波函数是坐标表象中的态矢，该表象中动量算符是梯度算符（乘ih/2pi)